关于L 函数的若干问题吴爱迪.caj:

关于L-函数的若干问题
作者 : 吴爱迪
学位授予单位 : 山东大学
学位名称 : 博士
导师姓名 : 扈培础
学位年度 : 2017
关键词 : 函数
摘要 : 作为千禧难题之一的黎曼猜想,长期以来备受许多数学工作者们的关注.1989年,Selberg为了研究L-函数的线性组合的值分布,以Riemann zeta函数为原型,定义了一类Dirichlet级数,其满足欧拉乘积,解析延拓,Riemann-型函数方程,且提出了关于这一类函数的几个基本猜想.引人兴趣的是,Selberg指出这些猜想紧密联系着数论中的某些相关的经典猜想.从此而后,这一类所谓的Selberg类L-函数成为了复分析理论中的另一个非常热门的研究课题,也是现代解析数论中的重要研究对象,但是目前对于这一类函数的理解尚未达到一个完整的框架.事实上,Selberg猜测,黎曼假设对所有Selberg类中的函数L成立.由黎曼猜想衍生出来的一类重要问题是关于简单零点在全部非平凡零点中所占比例的估计.数学家们曾普遍猜测,函数L的所有零点都是简单零点,我们称之为简单零点假设.但此命题迄今尚未得到证明.不过,与黎曼猜想类似,简单零点假设也得到了许多数值及解析结果的支持.Steuding在文[54]中给出了关于广义Selberg类L-函数c值点的渐进公式,并将其应用到Nevanlinna值分布理论上.此方向引起了许多学者的兴趣,对此进行了深入研究,成功地将两个交叉学科融合在一起.最近,扈和李在文[35]中利用Riemann zeta函数在临界直线上的零点构造了一个整函数,并利用此函数将黎曼猜想转换成亚纯函数的唯一性问题.本文以Nevanlinna值分布理论为主要研究工具,讨论了广义Selberg类L-函数的零点分布问题和唯一性问题.文章共分如下五章:第一章为预备知识.简要介绍了 Selberg类L-函数的基础知识和Nevan-linna基本理论.第二章,研究了 Dirichlet L-函数的单零点分布问题.借助值分布理论,结合函数论中的abc猜想定理,给出了关于模k的一族Dirichlet L-函数的判别零点估计式.此外,证明了对任意有穷复数a,L-a的单零点在其全部零点中所占的比例是个正值,至多除掉两个例外值,并且给出了此比例值的下确界.第三章,讨论了广义Selberg类L-函数的导函数L(k)(s))的零点分布问题.首先给出了L(k)(s)左右两侧的非零区域,并进一步给出L(k)(s)的零点估计式.第四章,探讨了广义Selberg类L-函数具有分担集合的唯一性问题,推广了 Steuding[55]和李[43]的结果.第五章,研究了广义Selberg类L-函数与亚纯函数具有分担值的唯一性问题.文中结果推广了李[42],Garunkstis,Grahl和Steuding[22]的结果.