流体力学中两类数学问题的研究

流体力学中两类数学问题的研究
作者 : 潘星宏
学位授予单位 : 南京大学
学位名称 : 博士
导师姓名 : 尹会成;张旗
学位年度 : 2017
关键词 : 流体力学
摘要 : 在流体动力学中,有两类基本的方程：欧拉方程和纳维斯托克斯方程。欧拉方程是一组刻画绝热无粘性流体的拟线性方程组,而纳维斯托克斯方程是描述粘性流体介质运动的。对这两类方程解的研究不仅仅在数学上是有趣且令人着迷的,同样在我们实际生活中也是有意义和有用的。这两类方程有很强的物理背景。在这篇论文中,我们将研究和他们相关的两个数学问题。首先,我们将研究一个与三维不可压纳维斯托克斯方程有关的问题。在卡式坐标下,不可压纳维斯托克斯方程为：atv+（v·▽）v+▽p=△v, ▽·v=0, （0.0.1）这里v是速度,p是压力。我们考虑方程的轴对称解。就是说在圆柱坐标（γ,θ,z）下,x=（x1,x2,x3）=（rcosθ,rsinθ,z）。方程的解为如下形式：v=vrer+vθeθ+vzez,这里基坐标向量er,eθ,ez是而速度分量vr,vθ,vz不依赖于θ。我们表示b=vrer+vzez。对于轴对称纳维斯托克斯方程解的全局时间正则性问题目前还没有得到解决。在没有旋转分量的情况下（vθ=0）,Ladyzhenskaya和Ukhovskii-Iudovich分别独立的证明了方程的弱解是全局正则的。当旋转分量不是恒为零时,最近在解的正则性上也做了一些努力和进步。其中的主要结果就是当解满足γ|b|≤C*λ（x,t）=λv（λx,λ2t）,pλ（x,t）=λ2p（λx,λ2t）同样也是方程组（0.0.1）的一个解。上述对于b的假设在如下意义下看来似乎是缩放不变的：表示bλ=vrλer+vzλez,让x0=（r0cosθ0,r0sinθ0,z0）是一个固定的空间点。对于我们缩放了的解,假设r0|b（x0,t）|≤C*变成了r0|bλ（x0,t）|=r0|λb（λx0,λ2t）|≤C*.当入→0,界C*是不变的,与λ无关。我们要研究在一个对于b稍微超临界假设下,解的正则性问题。准确的说,我们考虑如下假设这里,α是一个小的正常数。我们的假设是超临界的在于如下：我们的缩放了的解,假设r0|b（x0,t）|≤C*变为了当λ→0,界变为了无穷.这表明当我们在某个点放大我们的解时,对于b的界的控制变得坏了。因此方程解的正则性需要更细致的处理。在第二章中我们致力于证明在（0.0.2）的假设下,轴对称纳维斯托克斯方程解的正则性。其次,我们将研究带时间阻尼的等熵欧拉方程组：这里p（x）,u（x）和P（x）代表流体密度,速度,以及压力,λ,μ≥0是两个描述阻尼关于时间衰减率的常数。正如大家所知,当我们的阻尼消失（μ=0）的时候,激波将会形成。系统（0.0.3）没有全局光滑解。而当阻尼是常数（入=0）时,我们欧拉方程的全局小值解是全局存在的。自然地,大家就要问：是否存在一组非负的临界指数（λ,μ）将解的全局存在性和有限时间爆破性分开?我们相信并且证明了存在这样的一组依赖于方程空间维数的值（λc（n）,μc（n））使得：当0≤λc（n）,0c（n）,μ>μc（n）,（0.0.3）有全局存在的小值解；而当λ=λc（n）,μ≤μc（n）或者λ>λc（n）,0≤μ,（0.0.3）的光滑解将会在有限时间爆破。在这方面的第一个工作来自于[50]。在那里,文章作者证明了在三维空间情况下,（λc（3）,μc（3））=（1,0）。后来,他们也在[51]中表明了（λc（2）,μc（2））= （1,1）。我们这篇论文的第二个主要结果就是证明在一维情况下,（λc（1）,μc（1））=（1,2）.所有的线索表明（λ,μ）的零界指数可以如下表示：（λc（n）,μ（n））=（1.3-n） n≤3.在第三章中,我们将致力于证明这个事实（λc（1）,μc（1））=（1,2）.